Os 4 Casos da Fatoração de Polinômios

De: Hugo Silva - 14 anos

     Fatoração de polinômios (mais de um termo) é o nome dado a uma operação onde o objetivo é encontrar a “origem” de um ou mais monômios (um termo).

     Exemplo: efetuada a fatoração do polinômio 4r + 12, encontraremos o resultado 4(r+3).

1º caso : Colocação de um termo em evidência

     O 1º caso da fatoração de polinômios consiste em destacar um termo em comum na equação e logo após determinar o resultado.

Exemplo 1: colocação de uma letra em evidência

     x³+yx² - fatorando a equação ao lado temos x²(x+y), pois temos a letra x em comum nos dois termos. Notamos que o termo em evidência foi x², pois x era o único termo em comum e como havia x² e x³, destacamos o menor termo para chegarmos ao resultado final.

     Prova real: efetuando a distributiva da equação x²(x+y) obtemos, x².x e x².y que resulta em x³+yx² que era exatamente o polinômio inicial.

     Logo nos deparamos com o polinômio -6x²-4xy, notamos que alem das letras x e y, também há os números 6 e 4. Devemos então destacar um termo numeral e um termo literal, já que os dois podem ser destacados.

Exemplo 2: colocação de um número e uma letra em evidência

     -6x²-4xy - na equação ao lado é possível colocarmos uma letra e um número em evidência, pois no caso, se repete a letra x e notamos que os números 4 e 6, são todos divisíveis por 2. O resultado da fatoração então fica 2x(-3x-2y).

     Observação: O número em evidência, sempre deverá ser o maior divisor comum entre os termos, exemplo, o maior divisor comum entre 10 e 20 é 10, e não 2 ou 5. E assim como houve uma letra e um número em evidência pode ocorrer também de haver só um número em evidência.

Exemplo 3: fatoração com fração

     4/5xy -2/5x – na equação ao lado há a possibilidade destacarmos o monômio 2/5x, pois 2 (numerador do segundo termo) é divisível por 4 (numerador do primeiro termo); 5 é o denominador dos dois e x pois está em comum entre os monômios. Temos então 2/5x(2y-1).

     Prova Real: efetuando a operação distributiva obtemos a multiplicação de numerador por numerador e denominador por denominador: 2/5x.2y e 2/5x.-1 que resulta em 4/5xy e -2/5x. (no caso foi determinado numerador 2y e denominador 1, porque o número um pode ser ocultado, por ser insignificante, 2y/1 é a mesma coisa que 2y)

Características do 1º caso:

•Haverá uma quantidade indeterminada de termos (monômios).

•Sempre no 1º caso, tem que haver um número e/ou uma letra em comum em todos os termos.

2º caso: Agrupamento

    O 2º caso da fatoração de polinômios consiste no agrupamento, selecionando os termos que possuem uma letra e/ou número em comum e logo após, fazer a fatoração separada.

Exemplo 1: agrupamento em dois termos
     ax+2a+5x+10 - na equação ao lado notamos que não há nenhum número e nenhuma letra em comum em todos os termos. Devemos então agrupar os termos semelhantes. O resultado da fatoração então fica a(x+2)+5(x+2). Agora só nos resta simplificar o resultado. Que fica (a+5).(x+2).
Os termos agrupados foram ax+2a e 5x+10, efetuando a distributiva chegamos ao mesmo resultado anterior.
     Prova real: (a.x)+(a.2)+(5.x)+(5.2), logo obtemos ax+2a+5x+10.
 
Exemplo 2: agrupamento em três termos

     x³-2x²+x+yx²-2xy+y - na equação ao lado temos seis termos, como não temos uma letra ou um número em comum em todos, devemos efetuar a fatoração pelo 2º caso. A equação tem seis termos diferentes, devemos observar se podemos agrupar 3 grupos de 2, ou agrupar 2 grupos de 3. Notamos que há em comum x³-2x²+x e yx²-2xy-y, onde na primeira temos x em comum e na segunda temos y. Devemos então agrupar 2 grupos de 3 termos. Efetuamos então o mesmo procedimento, x(x²-2x+1)+y(x²-2x+1). O resultado simplificado é (x+y).(x²-2x+1).

Características do 2º caso:

•Haverá normalmente 4 ou 6 termos. Mas poderão vir mais, mas nunca abaixo de 4.

•Sempre você deve simplificar no final. •Nunca pode ficar um termo sem grupo.



3º caso: Trinômio quadrado perfeito

     O 3º caso, pra mim é o mais simples e rápido de se realizar, consiste em elevar ao quadrado a raiz do primeiro e do último termo.

 
Exemplo 1: Raiz quadrada de dois termos elevadas ao quadrado
     x²+10x+25 - notamos na equação ao lado que não há nenhuma letra ou número em comum em todos os termos, então não é o primeiro caso. Nem o segundo, pois há somente três termos, impossibilitando o agrupamento. Então devemos extrair a raiz quadrada do primeiro e do último termo, resultando em x e 5. Agora simplesmente colocamos estes dois termos em parênteses e elevamos tudo ao quadrado. O resultado final será (x+5)². O sinal do segundo termo (+10x) sempre acompanhará o sinal do parêntese (x+5)². Se fosse (-10x) o sinal acompanharia no parêntese (x-5)² Prova real: (x+5)²=(x+5).(x+5)=x.x+x.5+5.x+5.5=x²+5x+5x+25=x²+10x+25. Também há outra forma de efetuar a prova real, somente faça o dobro do produto de x e 5, 2.x.5=10x que é o único termo que não foi efetuada a raiz quadrada.
 
Características do 3º caso:
•Sempre haverá somente três termos.
•Nunca haverá um número ou uma letra em comum em todos os termos.
•O sinal do segundo termo do parêntese será o mesmo sinal do segundo termo da equação inicial.
 

4º caso: Diferença de dois quadrados
 
     O 4º caso da fatoração de polinômios consiste na diferença da raiz quadrada dos dois termos da equação. Assim como o 3º caso, é simples e rápido de fazer.
 
Exemplo 1: Sinal trocado no segundo parêntese

     x²-25 - notamos que na equação ao lado não há nenhum termo em comum em todos os termos, então não é o 1º caso, também observamos que há somente 2 termo, então eliminamos a possibilidade de ser o 2º (4 ou mais termos) e o 3º caso (3 termos). Devemos então somente extrair a raiz quadrada dos dois termos (ignorando o sinal de negativo do 25), então fica x-5, agora só efetuamos a multiplicação entre parêntese com o sinal trocado, temos então resultado final (x-5).(x+5), só trocarmos o sinal do segundo termo no segundo parêntese. Lembrando que no 4º caso o sinal do segundo termo na equação sempre será negativo.

     Prova real: efetuando a operação distributiva obtemos (x.x)+(x.5)+(-5.x)+(-5.5)=x²+5x-5x-25=x²-25

Características do 4º caso:

•Haverá sempre 2 termos.

•O sinal do segundo termo sempre será negativo.

•Devemos sempre trocar o sinal do segundo termo no segundo parêntese.